​​​​​​​Indicateurs de dispersion

En statistique, les indicateurs de dispersion incluent l'étendue, l'écart type et l'écart interquartile.

Définitions

• L'étendue  \(e\) représente la différence entre la valeur maximale et minimale de la série statistique, mesurant ainsi la dispersion réelle des valeurs.
  
• L'écart type σ mesure la dispersion des valeurs de la série par rapport à la moyenne ( `\overline{X}` ). Dans une distribution normale : 

          - environ 68 % des valeurs se situent dans l'intervalle [ \([\overline{X}-\sigma~;\overline{X}+\sigma]\) `` ;

          - environ 95 % des valeurs se situent dans l'intervalle \([\overline{X}-2\sigma~;\overline{X}+2\sigma]\)  ;

          - environ 99,7 % des valeurs se situent dans l'intervalle  \([\overline{X}-3\sigma~;\overline{X}+3\sigma]\) .

• L'écart interquartile est la différence entre les premier et troisième quartiles, définis dans la perle « Indicateurs de position ». Il mesure la dispersion de la moitié des valeurs autour de la médiane.
  

Ainsi une série statistique peut être caractérisée par les couples d'indicateurs (moyenne et écart type) ou (médiane et écart interquartile) pour permettre des comparaisons entre différentes séries statistiques.

Exemple
On mesure la taille (en centimètres) de 15 plantes dans un jardin botanique : 25 ; 27 ; 30 ; 32 ; 33 ; 35 ; 36 ; 38 ; 40 ; 42 ; 45 ; 47 ; 48 ; 50 ; 52.

• L'étendue des tailles des plantes est :   \(e=52-25=27\text{ cm}\) . Cette étendue est importante par rapport à la taille des plantes, ce qui indique une grande variation.
  
• La moyenne des tailles des plantes est : \(\overline{X} =38{,}67\text{ cm}\) .
  
• Pour évaluer la dispersion des tailles autour de la moyenne ( `\overline{X}` ), nous pouvons calculer l'écart type (σ) avec la calculatrice : σ = 8,2 cm. Cela signifie qu'environ 68 % des plantes ont une taille comprise entre  \(\overline{X}-\sigma\)  (30,47 cm) et \(\overline{X}+\sigma\)  (46,87 cm).
  
• On calcule : \(Q_1 = 32\text{ cm}\)  ; \(M_e=38\text{ cm}\)  ; \(Q_3=47\text{ cm}\) . On en déduit l'écart interquartile :  \(EI = Q_3-Q_1=13\text{ cm}\) . Au moins la moitié des plantes ont une taille entre 32 cm et 47 cm.